Question

Cho x,y,z là số thưc dương

\(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}=1,5\)

Tính \(x^2+y^2+z^2\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2})^2\leq (x^2+y^2+z^2)(1-y^2+1-z^2+1-x^2)\)

\(=(x^2+y^2+z^2)(3-x^2-y^2-z^2)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\((x^2+y^2+z^2)(3-x^2-y^2-z^2)\leq \left(\frac{x^2+y^2+z^2+3-x^2-y^2-z^2}{2}\right)^2=1,5^2\)

Do đó:

\((x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2})^2\leq 1,5^2\)

\(\Rightarrow x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}\leq 1,5\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{x}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{y}{\sqrt{1-z^2}}=\frac{z}{\sqrt{1-x^2}}\) và \(x^2+y^2+z^2=3-x^2-y^2-z^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=1,5\)