Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(M=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}=\frac{x^2}{x\sqrt{y}}+\frac{y^2}{y\sqrt{z}}+\frac{z^2}{z\sqrt{x}}\)
\(\geq \frac{(x+y+z)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}}(1)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^2\leq (x+y+z)(xy+yz+xz)\)
Mà theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy thì:
\(xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}\)
\(\Rightarrow (x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^2\leq \frac{(x+y+z)^3}{3}\)
\(\Rightarrow x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}\leq \sqrt{\frac{(x+y+z)^3}{3}}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow M\geq \sqrt{3(x+y+z)}\geq \sqrt{3.12}=6\)
Vậy \(M_{\min}=6\Leftrightarrow x=y=z=4\)
