Question

cho x,y,z là các số dương thỏa mãn điều kiện: x+y+z ≥12.Tìm giá trị nhỏ nhất của:M=\(\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}}\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(M=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}=\frac{x^2}{x\sqrt{y}}+\frac{y^2}{y\sqrt{z}}+\frac{z^2}{z\sqrt{x}}\)

\(\geq \frac{(x+y+z)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}}(1)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^2\leq (x+y+z)(xy+yz+xz)\)

Mà theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy thì:

\(xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}\)

\(\Rightarrow (x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^2\leq \frac{(x+y+z)^3}{3}\)

\(\Rightarrow x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}\leq \sqrt{\frac{(x+y+z)^3}{3}}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow M\geq \sqrt{3(x+y+z)}\geq \sqrt{3.12}=6\)

Vậy \(M_{\min}=6\Leftrightarrow x=y=z=4\)