Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phạm Mỹ Châu

cho x,y,z > 0 thỏa mãn \(xy+yz+zx=3\)

Tìm max của \(P=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}+\dfrac{y}{\sqrt{y^2+3}}+\dfrac{z}{\sqrt{z^2+3}}\)

Akai Haruma
24 tháng 5 2018 lúc 0:43

Lời giải:

Thay $3=xy+yz+xz$ vào biểu thức:

\(P=\frac{x}{\sqrt{x^2+xy+yz+xz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+xy+yz+xz}}+\frac{z}{\sqrt{z^2+xy+yz+xz}}\)

hay \(P=\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)\)

\(\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{z}{z+y}+\frac{z}{x+z}\right)\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy \(P_{\max}=\frac{3}{2}\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)


Các câu hỏi tương tự
Phạm Phương Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Phan Văn Trường
Xem chi tiết
nguyễn cẩm ly
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Miko
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết