Question

Cho x;y>1. Tính \(S=log_x\sqrt{xy}\) biết \(log_x^2+16log_yx\) đạt GTNN

Answer 1

Ủa mà đề là \(log_x^2\) của cái gì nhỉ? \(log_x^2y\) đúng ko?

Answer 2

Do x;y \(>1\Rightarrow log_xy>0\)

Đặt \(log_xy=a>0\Rightarrow log_x^2y+16log_yx=a^2+\dfrac{16}{a}=a^2+\dfrac{8}{a}+\dfrac{8}{a}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{64a^2}{a^2}}=12\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a^2=\dfrac{8}{a}\Rightarrow a=2\) hay \(log_xy=2\)

\(S=log_x\sqrt{x}+log_x\sqrt{y}=\dfrac{1}{2}log_xx+\dfrac{1}{2}log_xy=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}.2=\dfrac{3}{2}\)