Ôn tập cuối năm phần số học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
david thomson

Cho x,y là các số thực không đồng thời bằng 0 chứng minh 

A=\(\dfrac{2xy}{x^2+4y^2}\)\(\dfrac{y^2}{3x^2+2y^2}\)\(\dfrac{3}{5}\)

 

 

 

๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG
12 tháng 2 2022 lúc 12:11

\(\dfrac{2xy}{x^2+4y^2}+\dfrac{y^2}{3x^2+2y^2}\le\dfrac{3}{5}\)

<=> \(\left(\dfrac{2}{5}-\dfrac{2xy}{x^2+4y^2}\right)+\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{y^2}{3x^2+2y^2}\right)\ge0\)

<=> \(\dfrac{2x^2+8y^2-10xy}{x^2+4y^2}+\dfrac{3x^2+2y^2-5y^2}{3x^2+2y^2}\ge0\)

<=> \(\dfrac{2\left(x-4y\right)\left(x-y\right)}{x^2+4y^2}+\dfrac{3\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{3x^2+2y^2}\ge0\)

<=> \(\left(x-y\right)\left[\dfrac{2\left(x-4y\right)}{x^2+4y^2}+\dfrac{3\left(x+y\right)}{3x^2+2y^2}\right]\ge0\) (1)

Xét \(\dfrac{2\left(x-4y\right)}{x^2+4y^2}+\dfrac{3\left(x+y\right)}{3x^2+2y^2}=\dfrac{2\left(x-4y\right)\left(3x^2+2y^2\right)+3\left(x+y\right)\left(x^2+4y^2\right)}{\left(x^2+4y^2\right)\left(3x^2+2y^2\right)}\)

\(\dfrac{9x^3+16xy^2-21x^2y-4y^3}{\left(x^2+4y^2\right)\left(3x^2+2y^2\right)}=\dfrac{\left(x-y\right)\left(3x-2y\right)^2}{\left(x^2+4y^2\right)\left(3x^2+2y^2\right)}\)

(1) <=> \(\dfrac{\left(x-y\right)^2\left(3x-2y\right)^2}{\left(x^2+4y^2\right)\left(3x^2+2y^2\right)}\ge0\) (luôn đúng)

=> \(A\le\dfrac{3}{5}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x=\dfrac{2}{3}y\end{matrix}\right.\)


Các câu hỏi tương tự
Hiền Thương
Xem chi tiết
Nguyễn Trần An Thanh
Xem chi tiết
Anh Hoàng
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hương
Xem chi tiết
Ngoc An Pham
Xem chi tiết
Em vô tội mừ
Xem chi tiết
A Lan
Xem chi tiết
wcdccedc
Xem chi tiết
Ân Nguyễn
Xem chi tiết