Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\sqrt{x}+\sqrt{x}+x^2\geq 3\sqrt[3]{x^3}=3x$
$\sqrt{y}+\sqrt{y}+y^2\geq 3y$
$\sqrt{z}+\sqrt{z}+z^2\geq 3z$
Cộng theo vế:
$2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+x^2+y^2+z^2\geq 3(x+y+z)=(x+y+z)^2$
$\Leftrightarrow 2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\geq 2(xy+yz+xz)$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+xz$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
cho các số thực dưong x,y,z thỏa mãn : x2+y2+z2=3
chứng minh rằng : \(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge xy+yz+zx\)
cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1 chứng minh rằng \(\frac{x}{\sqrt{x+\sqrt{yz}}}+\frac{y}{\sqrt{y+\sqrt{zx}}}+\frac{z}{\sqrt{z+\sqrt{xy}}}\ge\frac{3}{2}\)
Cho x,y,z>0 thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2\ge9\) Chứng minh \(\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\ge\sqrt{3}\)
Cho x,y,z >0 t/m x2+y2+z2=3.
C/m \(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge xy+yz+zx\)
cho x,y,z dương thỏa mãn x+y+z=1. CMR:
\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
Cho x,y,z > 0. CMR: \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng: \(\sqrt{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt{2z^2+zx+2x^2}\ge\sqrt{5}\)
Cho ba số x, y, z không âm. Chứng minh: \(x+y+z\ge-\sqrt{xy}-\sqrt{yz}-\sqrt{xz}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=1
Chứng minh rằng \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3\)
