Question

Cho x, y > 0, x+y=2.

CMR: A=\(x^4+y^4+8\sqrt{xy}\ge10\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(2=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow 1\geq \sqrt{xy}\)

Đặt \(\sqrt{xy}=t\) thì \(0< t\leq 1\)

\(A=x^4+y^4+8\sqrt{xy}=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+8\sqrt{xy}\)

\(=[(x+y)^2-2xy]^2-2x^2y^2+8\sqrt{xy}\)

\(=(4-2xy)^2-2x^2y^2+8\sqrt{xy}\)

\(=16+2x^2y^2-16xy+8\sqrt{xy}=16+2t^4-16t^2+8t\)

Xét \(A-10=6+2t^4-16t^2+8t=2(t-1)(t^3+t^2-7t-3)\)

Với $0< t\leq 1$ thì: \(t-1\leq 0; t^3+t^2-7t-3\leq t+t-7t-3< 0\)

\(\Rightarrow A-10\geq 0\Rightarrow A\geq 10\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$