\(\Leftrightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3-x^2y+y^3-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng với x;y dương)
Vậy BĐT đã cho đúng
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
cho x,y,z >0 thỏa mãn x ≥ z. Cmr:
\(\frac{xz}{y^2+yz}+\frac{y^2}{xz+yz}+\frac{x+2z}{x+z}\ge\frac{5}{2}\)
Cho các số x, y, z dương. CMR:\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\)\(\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)
Cho x,y,z>0. Chứng minh rằng:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
Bài 1:a) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thảo mãn :y2+2xy-3x-2=0
b) Cho x,y thỏa mãn xy≥1.CMR:\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\) ≥ \(\frac{2}{1+xy}\)
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn: x + y + z = 3. CMR:
\(\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{2}\)
cho x,y,z>0
Cmr:
\(\frac{1}{x+3y}+\frac{1}{y+3z}+\frac{1}{z+3x}\ge\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{y+2z+x}+\frac{1}{z+2x+y}\)
a, CMR: 9x2y2+ y2- 6xy - 2y +2≥0
b, cho ba số thuộc số âm x, y, z
thỏa mãn\(\left\{{}\begin{matrix}xyz=1\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< x+y+z\end{matrix}\right.\)
CMR: Có đúng trong ba số x,y, z lớn hơn 1
1, cho 3 số x,y,z thỏa mãn xy+yz+zx=3xzy. CMR:\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{x^2}1+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Cmr \(\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\ge xy+yz+xz\) với x,y,z>0
