Question

Cho x là số nguyên, chứng minh rằng:

M=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 là số chính phương của 1 số nguyên

Answer 1

\(M=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)+1\)

\(=\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)+1\)

Đặt \(t=x^2+5x+4\) thì ta có:

\(=t\left(t+2\right)+1=t^2+2t+1\)

\(=\left(t+1\right)^2=\left(x^2+5x+5\right)^2\)

Mà \(x\in Z\) suy ra \(\left(x^2+5x+5\right)^2\) là số chính phương của 1 số nguyên

Answer 2

\(M=\left(x+1\right)\left(x+4\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1\)

\(=\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)+1\) (1)

Đặt \(x^2+5x+4=a\)

\(M=a\left(a+2\right)+1\)

\(=a^2+2a+1=\left(a+1\right)^2=\left(x^2+5x+4\right)^2\)

Mà x nguyên \(\Rightarrow\) M là số chính phương của 1 số nguyên