Question

Cho tam giác ABC vuông tại A(AC>AB) dường cao AH (H thuộc BC).Trên tia HC lấy điểm HD=HA.Dường vuông góc vs BC tại D cắt AC tại E

1/Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đòng dạng tính độ dài đoạn BE theo m=AB

2/Gọi M là trung điểm của đoạn BE.Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng,Tính số đo của góc AHM

3/Tia AM cắt BC tại G.Chứng minh rằng:\(\text{GB/BC=HD/AH+HC}\)

Answer 1

Nguyễn Thanh Hằng Akai Haruma Nhã Doanh

Answer 2

Lời giải:

Xin lỗi bạn vì trả lời trễ nhé!

1) Xét tam giác $ABC$ và tam giác $HAC$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90^0\\ \widehat{ABC}=\widehat{HAC}(=90^0-\widehat{BAH})\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \frac{AB}{HA}=\frac{AC}{HC}(1)\)

Lại có: \(DE\parallel HA\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{HD}{HC}=\frac{HA}{HC}\) (theo định lý Thales)

\(\Leftrightarrow \frac{AE}{HA}=\frac{AC}{HC}(2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow \frac{AB}{HA}=\frac{AE}{HA}\Rightarrow AB=AE\) nên tam giác $ABE$ là tam giác vuông cân tại $A$

\(\Rightarrow \widehat{BEA}=45^0\Rightarrow \widehat{BEC}=135^0\)

\(HA=HD\Rightarrow \triangle HAD\) vuông cân tại $H$ nên \(\widehat{HDA}=45^0\Rightarrow \widehat{ADC}=135^0\)

Xét tam giác $BEC$ và $ADC$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{ADC}=\widehat{BEC}\\ \text{chung góc C}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle BEC\sim \triangle ADC(g.g)\)

Tam giác $ABE$ vuông cân tại $A$ thì:

\(BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{2AB^2}=\sqrt{2}m\)

2) Tam giác $ABE$ vuông cân tại $A$ nên : \(2BM=BE=\sqrt{2}AB\)

\(\Rightarrow BM.BE=\frac{\sqrt{2}AB}{2}.\sqrt{2}AB=AB^2\)

Mặt khác dễ thấy rằng \(\triangle BHA\sim \triangle BAC(g,g)\Rightarrow \frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\)

\(\Rightarrow BA^2=BH.BC\)

Do đó: \(BH.BC=BM.BE\Leftrightarrow \frac{BH}{BE}=\frac{BM}{BC}\)

Xét tam giác $BHM$ và $BEC$ có chung góc $B$ và \(\frac{BH}{BE}=\frac{BM}{BC}\) (cmt) nên hai tam giác đó đồng dạng theo trường hợp (c,g,c)

\(\Rightarrow \widehat{BHM}=\widehat{BEC}=135^0\)

\(\Rightarrow \widehat{AHM}=\widehat{BHM}-\widehat{BHA}=135^0-90^0=45^0\)

3)

Vì tam giác $ABE$ vuông cân tại $A$ nên đường trung tuyến AM$ đồng thời là đường phân giác.

Do đó $AG$ là đường phân giác góc $A$

Theo tính chất đường phân giác: \(\frac{GC}{GB}=\frac{AC}{AB}\Leftrightarrow \frac{BC}{GB}=1+\frac{AC}{AB}\)

Theo (1) của phần a ta có: \(\frac{AB}{HA}=\frac{AC}{HC}\Leftrightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{HC}{HA}\)

Do đó: \(\frac{BC}{GB}=1+\frac{HC}{HA}=\frac{HA+HC}{HA}\)

\(\Leftrightarrow \frac{GB}{BC}=\frac{HA}{HA+HC}=\frac{HD}{HA+HC}\)

Ta có đpcm.

Answer 3

Lời giải:

1) Xét tam giác ABC và tam giác HAC có:

{^BAC=^AHC=900^ABC=^HAC(=900−^BAH)

⇒ABHA=ACHC(1)

Lại có: DE∥HA⇒AEAC=HDHC=HAHC (theo định lý Thales)

⇔AEHA=ACHC(2)

Từ (1);(2)⇒ABHA=AEHA⇒AB=AE nên tam giác ABE là tam giác vuông cân tại A

⇒^BEA=450⇒^BEC=1350

HA=HD⇒△HAD vuông cân tại H nên ^HDA=450⇒^ADC=1350

Xét tam giác BEC và ADC có:

{^ADC=^BECchung góc C⇒△BEC∼△ADC(g.g)

Tam giác ABE vuông cân tại A thì:

BE=√AB2+AE2=√2AB2=√2m

2) Tam giác ABE vuông cân tại A nên : 2BM=BE=√2AB

⇒BM.BE=√2AB2.√2AB=AB2

Mặt khác dễ thấy rằng △BHA∼△BAC(g,g)⇒BHBA=BABC

⇒BA2=BH.BC

Do đó: BH.BC=BM.BE⇔BHBE=BMBC

Xét tam giác BHM và BEC có chung góc B và BHBE=BMBC (cmt) nên hai tam giác đó đồng dạng theo trường hợp (c,g,c)

⇒^BHM=^BEC=1350

⇒^AHM=^BHM−^BHA=1350−900=450

3)

Vì tam giác ABE vuông cân tại A nên đường trung tuyến AM$ đồng thời là đường phân giác.

Do đó AG là đường phân giác góc A

Theo tính chất đường phân giác: GCGB=ACAB⇔BCGB=1+ACAB

Theo (1) của phần a ta có: ABHA=ACHC⇔ACAB=HCHA

Do đó: BCGB=1+HCHA=HA+HCHA

⇔GBBC=HAHA+HC=HDHA+HC

Ta có đpcm.