cho tam giác ABC vuông tại A có AB<AC,M là 1 điểm tuỳ ý trên BC . Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt đoạn AB tại I và cắt tia CA tại D . C/m
a, tam giác ABC đồng dạng với tam giác MDC
b, BI.BA=BM.BC
c, CI cắt BD tại K , Chứng minh BI.BA + CI.CK ko phụ thuộc vào vị trí của điểm M
d, góc MAI =BDI , từ đó suy ra AB là phân giác góc MAK
a) Xét △ABC và △MDC có
\(\widehat{C}\) chung
\(\widehat{DMC}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\)
Suy ra △ABC \(\sim\) △MDC(g-g)
b) Xét △ABC và △MBI có
\(\widehat{B}\) chung
\(\widehat{BMI}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\)
Suy ra △ABC \(\sim\) △MBI(g-g)
\(\Rightarrow\frac{AB}{BM}=\frac{BC}{BI}\Rightarrow BI.BA=BM.BC\)
c) Xét △BDC có 2 đường cao AB và DM cắt nhau tại I\(\Rightarrow\)I là trực tâm của △BDC mà CK đi qua I\(\Rightarrow\)CK là đường cao của △BDC hay CK⊥BD
Xét △CIM và △CBK có
\(\widehat{C}\) chung
\(\widehat{IMC}=\widehat{CKB}\left(=90^0\right)\)
Suy ra △CIM \(\sim\) △CBK(g-g)
\(\Rightarrow\frac{CI}{CB}=\frac{CM}{CK}\Rightarrow CI.CK=BC.CM\)
Vậy \(BI.BA+CI.CK=BM.BC+CM.BC=BC\left(MB+MC\right)=BC^2\)Vậy \(BI.BA+CI.CK\) không phụ thuộc vào vị trí của M
d) Xét tứ giác MIAC có
\(\widehat{CMI}+\widehat{IAC}=90^0+90^0=180^0\)\(\Rightarrow\) tứ giác MIAC nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{ICA}=\widehat{IMA}\Rightarrow\widehat{ICA}+\widehat{AIC}=\widehat{IMA}+\widehat{AIC}\Rightarrow\widehat{IMA}+\widehat{AIC}=90^0\Rightarrow\widehat{MIC}+\widehat{MAI}=90^0\)(tổng 3 góc trong 1 tam giác bằng 1800)\(\Rightarrow\widehat{MAI}+\widehat{KID}=90^0\)
Mà \(\widehat{BDI}+\widehat{KID}=90^0\)
Suy ra \(\widehat{MAI}=\widehat{BDI}\)(1)
Xét tứ giác KIDA có
\(\widehat{IKD}+\widehat{IAD}=90^0+90^0=180^0\Rightarrow\) tứ giác KIDA nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{KAI}=\widehat{BDI}\)(2)
Từ (1),(2)\(\Rightarrow\widehat{MAI}=\widehat{KAI}\) hay AB là phân giác \(\widehat{MAK}\)
a) Xét △ABC và △MDC có
\(\widehat{C}\) chung
\(\widehat{DMC}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\)
Suy ra △ABC \(\sim\) △MDC(g-g)
b) Xét △ABC và △MBI có
\(\widehat{B}\) chung
\(\widehat{BMI}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\)
Suy ra △ABC \(\sim\) △MBI(g-g)
\(\Rightarrow\frac{AB}{BM}=\frac{BC}{BI}\Rightarrow BI.BA=BM.BC\)
c) Xét △BDC có 2 đường cao AB và DM cắt nhau tại I\(\Rightarrow\)I là trực tâm của △BDC mà CK đi qua I\(\Rightarrow\)CK là đường cao của △BDC hay CK⊥BD
Xét △CIM và △CBK có
\(\widehat{C}\) chung
\(\widehat{IMC}=\widehat{CKB}\left(=90^0\right)\)
Suy ra △CIM \(\sim\) △CBK(g-g)
\(\Rightarrow\frac{CI}{CB}=\frac{CM}{CK}\Rightarrow CI.CK=BC.CM\)
Vậy \(BI.BA+CI.CK=BM.BC+CM.BC=BC\left(MB+MC\right)=BC^2\)Vậy \(BI.BA+CI.CK\) không phụ thuộc vào vị trí của M
d) Xét tứ giác MIAC có
\(\widehat{CMI}+\widehat{IAC}=90^0+90^0=180^0\)\(\Rightarrow\) tứ giác MIAC nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{ICA}=\widehat{IMA}\Rightarrow\widehat{ICA}+\widehat{AIC}=\widehat{IMA}+\widehat{AIC}\Rightarrow\widehat{IMA}+\widehat{AIC}=90^0\Rightarrow\widehat{MIC}+\widehat{MAI}=90^0\)(tổng 3 góc trong 1 tam giác bằng 1800)\(\Rightarrow\widehat{MAI}+\widehat{KID}=90^0\)
Mà \(\widehat{BDI}+\widehat{KID}=90^0\)
Suy ra \(\widehat{MAI}=\widehat{BDI}\)(1)
Xét tứ giác KIDA có
\(\widehat{IKD}+\widehat{IAD}=90^0+90^0=180^0\Rightarrow\) tứ giác KIDA nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{KAI}=\widehat{BDI}\)(2)
Từ (1),(2)\(\Rightarrow\widehat{MAI}=\widehat{KAI}\) hay AB là phân giác \(\widehat{MAK}\)
