Lời giải:
Theo công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông ta thấy:
\(BH.HC=AH^2=12^2=144\)
Mà: \(BH+HC=BC=25\)
Thay \(BH=25-HC\) suy ra: \((25-HC).HC=144\)
\(\Rightarrow (HC-16)(HC-9)=0\)
Vì $AB< AC$ nên $BH< HC$
Nếu $HC=16$ thì $BH=9$ (thỏa mãn)
Nếu $HC=9$ thì $BH=16>HC$ (loại)
Áp dụng định lý Pitago:
\(AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15\)
\(AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20\)
b)
Vì $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(AM=\frac{1}{2}BC=BM\)
Do đó tam giác $BAM$ cân tại $M$\(\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{MBA}\)
\(\Rightarrow \widehat{AMH}=\widehat{AMB}=180^0-2\widehat{MBA}\)
Mà: \(\cos \widehat{MBA}=\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \widehat{MBA}\approx 53,13^0\)
\(\Rightarrow \widehat{AMH}\approx 73,74^0\)
c)
\(HM=BM-BH=\frac{BC}{2}-BH=\frac{25}{2}-9=3,5\)
\(\Rightarrow S_{AHM}=\frac{HM.HA}{2}=\frac{3,5.12}{2}=21\) (cm vuông)
