Question

cho tam giác ABC nhọn 3 đường cao AD,BE,CF đồng quy ở H . EF cắt AH ở I . Vẽ PQ//BC ;PQ đi qua I ( P thuoc AB ; Q thuoc BE

a) IP = IQ

b) M là trung điểm AH . chứng minh I là trực tâm tam giác BMC

Answer 1

a/ nối Q với I

ta có BE;CF là đường cao của tam giác ABC

=> góc BEA= góc CFA =90^o

tứ giác AEHF có: góc BEA + góc CFA =180^o

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau

=> tú giác AEHF nội tiếp

=> Góc HAF = góc HEF (vì cùng chắn cung HF nhỏ)(1)

ta có: PQ // BC mà AD\(\perp BC\)

=>\(PQ\perp AD\)

ta lại có: góc AEQ= góc AIQ mà Góc AIQ =90^o

=> góc AEQ =90^o

tứ giác AIEQ có: gócAEQ= góc QIA =90^o

mà 2 góc này ở vị trí kề nhau cùng nhìn cạnh AQ

=>tứ giác AIEQ nội tiếp

=> góc QEI + góc QAI =180^o

=> góc QAI = 180^o - góc QEI (2)

mà góc QEI+ góc IEH=180^o

=> Góc IEH =180^o - góc QEI (3)

từ (2) và (3) ta có: góc IEH=góc QAI(4)

từ (1) và (4) ta có: góc QAI = góc PAI

hay AI là phân giác góc PAQ

tam giác PAQ có AI là phân giác đồng thời là đường cao

=> tam giác PAQ cân tại A

=> AI đồng thời là đường trung truyến

=> i là trung điểm của PQ hay IP=IQ (ĐPCM)