Cho tam giác ABC. H là trực tâm. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm BC, AC. O là giao điểm của các đường trung trực trong tam giác. Hỏi:
a, C/m tam giác OMN đồng dạng với tam giác HAB?
b, Gọi G là trọng tâm ABC. C/m tam giác HAG đồng dạng với tam giác OMG?
c, C/m 3 điểm H, O, G thẳng hàng?
d, C/m GH = 2GO?
a) Gọi D là trung điểm CH; E là giao điểm của ON và AH.
Ta có: ∠MON=1800- ∠MOE=1800- ∠BHE=∠AHB
DM; DN lần lượt là đường trung bình của tam giác BCH và CAH
=> DM//BH//ON (cùng ⊥ AC); DN//AH//OM (cùng ⊥ BC)
=> ONDM là hình bình hành
=> \(OM=ND=\frac{AH}{2};\) \(ON=MD=\frac{BH}{2}\)
=> ΔOMN~ΔHAB(c.g.c) (đpcm)
b)c) Xét Δ AGH và Δ MGO có:
\(\frac{AH}{MO}=\frac{AG}{MG}\)=2 ; ∠GAH = ∠GMO
=> Δ AGH~Δ MGO(c.g.c)
=>∠AGH=∠MGO; GH=2GO (đpcm).
=> ∠HGO= ∠AGH+∠AGO= ∠MGO+∠AGO=1800
=> H,G,O thẳng hàng (đpcm)
