Question

Cho tam giác ABC, đường cao AH, H thuốc BC thỏa mãn hệ thức 1/AH² = 1/AB² + 1/AC² thì tam giác ABC vuông

Answer 1

Ta có: \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\) (gt)

\(\Rightarrow\frac{1}{AH^2}-\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AC^2}\)

\(\Rightarrow\frac{AB^2-AH^2}{AH^2.AB^2}=\frac{1}{AC^2}\)

\(\Rightarrow\frac{BH^2}{AH^2.AB^2}=\frac{1}{AC^2}\) ( Vì BH² + AH² = AB² )

\(\Rightarrow\frac{BH}{AH.AB}=\frac{1}{AC}\)

\(\Rightarrow BH.AC=AH.AB\)

\(\Rightarrow\frac{BH}{AH}=\frac{AB}{AC}\)

Xét tam giác ABH và tam giác ACH

Ta có: Góc AHC = Góc AHB = 90 độ

\(\frac{BH}{AH}=\frac{AB}{AC}\)

=> TG ABH đồng dạng TG ACH (c-g-c)

=> Góc ABH = Góc HAC

Ta có: Góc ABH + Góc BAH = Góc HAC + Góc BAH

=> 90 độ = BAC

=> TG ABC vuông tại A