Question

Cho tam giác ABC đường cao AH, đường trung tuyến kẻ từ B, và phân giác kẻ từ C đồng quy tại O. Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh BC,CA,AB. CMR:

\(a.\frac{HC}{HB}=\frac{AB}{BC}\) \(b.\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-c^2\right)=2a^2b\)

Answer 1

Tham khảo:

Xem hình, trong đó HE//AC

a) HB/BC = HE/CM = HE/AM = HO/AO = HC/AC (tính chất phân giác)

=> HC/HB = AC/BC ( chứ ko phải = AB/BC như đề bài , bạn xem lại đề)

b) Đặt HC = h Theo định lý hs cô sin ta có:

a^2 + b^2 - c^2 = 2ab.cosC = 2ab.HC/AC = 2ab(h/b) = 2ah

(a + b)(a^2 + b^2 - c^2) = 2a^2b

<=> 2ah(a + b) = 2a^2b

<=> (a + b)h = ab

<=> ah = b(a - h)

<=> BC.HC = AC.HB (vì a - h = BC - HC = HB)

<=> HC/HB = AC/BC (đúng theo câu a)

Answer 2

A, Sửa đề AB thành AC

\(HE//AC\)

a) \(\frac{HB}{BC}=\frac{HE}{CM}=\frac{HE}{AM}=\frac{HO}{OA}=\frac{HC}{AC}\) (tính chất phân giác)

\(\rightarrow\frac{HC}{HB}=\frac{AC}{BC}\)

b) Đặt \(HC=h\) Theo định lý hs cô sin ta có:

\(a^2+b^2-c^2=2ab.cosC=2ab.\frac{HC}{AC}=2ab\left(\frac{h}{b}\right)=2ah\)

\(\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-c^2\right)=2a^2b\)

\(\Leftrightarrow2ah\left(a+b\right)=2a^2b\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right).h=ab\)

\(\rightarrow ah=b\left(a-h\right)\)

\(\Leftrightarrow BC.HC=AC.HB\)( Vì \(a-h=BC-HC=HB\)

\(\rightarrow\frac{HC}{HB}=\frac{AC}{BC}\) (đúng theo câu a)

Answer 3

@buithianhtho: chuyển từ lời giải thường sang LATEX. @Nguyễn Văn Đạt: giữ nguyên bài giải của người khác (Hai bài trên y như nhau). Đều copy lời giải từ https://hoidap247.com/cau-hoi/203754