Question

Cho tam giác ABC có góc A=90;AB<AC;phân giác BE,E thuộc AC.Lấy điểm H thuộc cạnh BC sao cho BH=BA

a.CM EH vuôn góc với BC

b.CM BE là đường trung trực của AH

c.Đường thẳng EH cắt AB ở K.CM EK=EC

d.CM AH//KC

e.Gọi M là trung điểm của KC.Cm 3 điểm B,E,M thẳng hàng

Answer 1

a) + Xét ΔABE và ΔHBE ta có :

AB = HB ( theo giả thiết )

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\)

BE : cạnh chung

=> ΔABE = ΔHBE ( c.g.c )

\(\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{BHE}=90^o\)

=> EH ⊥ BC

b) Gọi I là giao điểm của AH và BE

+ ΔABI = ΔHBI ( c.g.c )

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AI=HI\\\widehat{AIB}=\widehat{HIB}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AI=HI\\\widehat{AIB}=90^o\end{matrix}\right.\)

=> BE là đường trung trực của AH

c) + ΔABE = ΔHBE => AE = HE

+ ΔAKE = ΔHCE ( cạnh huyền-góc nhọn )

=> KE = CE

d) + ΔAKE = ΔHCE => AK = HC

=> AK + AB = HC + BH ( do AB = BH )

=> BK = BC => ΔBKC cân tại B

=> BE cũng đồng thời là đường trung tuyến của ΔBKC

=> B,E,M thẳng hàng

Answer 2

a.Xét ΔABE và ΔHBE có:

AB=BH (gt)

∠ABE=∠HBE ( vì BE là phân giác ∠B )

BE chung

⇒ ΔABE=ΔHBE ( c-g-c )

⇒ ∠BAH=∠BHE=90^o ( 2 góc tương ứng )

Mà ∠BHE và ∠EHC là 2 góc kề bù ⇒ ∠BHE + ∠EHC = 180^o

hay 90^o + ∠EHC = 180^o

⇒ ∠EHC = 90^o

⇒ ∠BHE = ∠EHC = 90^o

hay EH ⊥ BC

b. Gọi giao điểm của BE và AH là I và I ∈ BE

Xét ΔBAI và ΔBHI có:

BA=BH (gt)

∠ABE=∠HBE ( vì BE là phân giác ∠B )

BI chung

⇒ ΔBAE = ΔBHE ( c-g-c )

⇒ IA=IH ( 2 cạnh tương ứng ) (1)

⇒ ∠BIA = ∠BIH ( 2 góc tương ứng )

Mà ∠BIA và ∠BIH là 2 góc kề bù ⇒ ∠BIA + ∠BIH = 180^o

∠BIA = ∠BIH = 180^o : 2 = 90^o

hay BI ⊥ AH (2)

⇒ BE là đường trung trực của AH

c. Xét ΔAKE ( vuông tại A ) và ΔHCE ( vuông tại H ) có:

EA=EH ( vì ΔBAE=ΔBHE )

∠AEK=∠HEC ( 2 góc đối đỉnh )

⇒ΔAKE=ΔHCE ( cgv- góc nhọn kề với cạnh ấy )

⇒ AK=HC ( 2 cạnh tương ứng )

Mà BA=BH (gt)

⇒ BA + AK = BH + HC

hay BK=BC

Xét ΔBKE và Δ BCE có:

BK=BC (cmt)

∠KBE=∠CBE (vì BE là phân giác ∠B )

BE chung

⇒ ΔBKE=ΔBCE (c-g-c)

⇒ EK=EC ( 2 cạnh tương ứng )

d. Ta có: BK=BC (cmt) ⇒Δ BKC cân tại B

⇒ ∠BCK= (180^o-∠B):2

BA=BH (gt) ⇒ ΔBAH cân tại B

⇒ ∠BHA =(180^o-∠B):2

⇒ ∠BCK= ∠BHA

Mà ∠BCK và ∠BHA là 2 góc ở vị trí đồng vị

⇒ AH//KC (dhnb 2 đt //)

e. Ta có : BE là tia phân giác ∠B ( đề bài ) (*)

Xét ΔKBM và ΔCBM có:

BM chung

BK=BC ( cmt )

MK = MC ( vì M là trung điểm của KC )

⇒ ΔKBM =ΔCBM ( c-c-c )

⇒ ∠ KBM = ∠CBM ( 2 góc tương ứng ) ( ! )

Ta có : K ∈ AB

C ∈ BH

M ∈ KC

⇒ BM nằm giữa 2 tia BK và BC ( !! )

Từ (!) và (!!) ⇒ BM là tia phân giác góc B(**)

Từ (*) và (**) ⇒ B,E,M thẳng hàng