Cho ΔABC, có \(\widehat{A}=90^O\), AB<AC, tia phân giác góc B cắt AC tại E. Lấy điểm H thuộc BC sao cho BA = BH. Chứng minh rằng:
a)\(EH\perp BC\)
b)BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH
c)Đường thẳng EH cắt đường thẳng AB tại K. Vì sao EK = EC
d)AH//KC
e)Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng KC. Chứng minh ba điểm B, E, M thẳng hàng./.
\(\Rightarrow\)CHÚ Ý: ĐÂY LÀ MỘT BÀI TOÁN KHÓ MÀ CHƯA TỪNG BAO GIỜ XUẤT HIỆN NÊN HÃY DÙNG CHÍNH SỨC CỦA MÌNH ĐỂ GIÚP #TỚ
a/ Xét \(\Delta ABE;\Delta HBE\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}AB=BH\\\widehat{ABE}=\widehat{EBH}\\BEchung\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\Delta ABE=\Delta HBE\left(ch-gn\right)\)
\(\Leftrightarrow\widehat{BAE}=\widehat{BHE}\)
Má \(\widehat{BAE}=90^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{BHE}=90^0\)
\(\Leftrightarrow EH\perp BC\)
b/ Gọi giao của BE và AH là D
Xét \(\Delta BAD;\Delta DBH\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}AB=BH\\\widehat{ABD}=\widehat{DBH}\\ADchung\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\Delta BAD=\Delta BHD\left(c-g-c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}DA=DH\\\widehat{BDA}=\widehat{BDH}\end{matrix}\right.\)
Mà \(\widehat{BDH}+\widehat{BDA}=180^0\left(kềbuf\right)\)
\(\Leftrightarrow\widehat{BDA}=\widehat{ADH}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
\(\Leftrightarrow\) BE là đường trung trực của AH
c
a) Xét \(\Delta ABE,\Delta HBE\) có :
\(AB=BH\left(gt\right)\)
\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\) (BE là tia phân giác của \(\widehat{B}\) )
\(BE:chung\)
=> \(\Delta ABE=\Delta HBE\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{BAE}=\widehat{BHE}=90^{^o}\)(2 góc tương ứng)
Do đó : \(EH\perp BC\left(đpcm\right)\)
b) Xét \(\Delta ABH\) có :
\(AB=BH\) (gt)
=> \(\Delta ABH\) cân tại B
Lại có : BE là tia phân giác của góc B
=> BE đồng thời là đường trung trực trong \(\Delta ABH\)
Suy ra : \(\left\{{}\begin{matrix}AE=EH\\BE\perp AH\end{matrix}\right.\) (Tính chất đường trung trực)
Do đó :\(BE\) là đường trung trực của AH
=> đpcm
c) Ta chứng minh : \(\Delta BEK=\Delta BEH\) (*)
Suy ra : \(EK=EC\) (2 cạnh tương ứng)
d) Xét \(\Delta ABH\) cân tại A có :
\(\widehat{BAH}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta BKC\) có :
BK = BC (suy ra từ *)
=> \(\Delta BKC\) cân tại B
Ta có : \(\widehat{BKC}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{BAH}=\widehat{BKC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{B}}{2}\right)\)
Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị
Do đó : \(AH//KC\left(đpcm\right)\)
e) Xét \(\Delta EKC\) có :
\(KM=MC\) (M là trung điểm của KC)
=> EM là trung tuyến trong \(\Delta EKC\)
=> E,M thẳng hàng (3)
Xét \(\Delta ABH\) có :
BE là trung trực trong tam giác ABH (cmt)
=> B,E thẳng hàng (4)
Từ (3) và (4) => B, E,M thẳng hàng
=> đpcm
