Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Núi non tình yêu thuần k...

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, M là điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M lên BC, CA và AB.

a, CMR: \(AK^2+BH^2+CI^2=AI^2+CH^2+BK^2\)

b, Tìm vị trí của M sao cho tổng \(AK^2+BH^2+CI^2\)đạt GTNN.

Hoàng Thị Ánh Phương
25 tháng 2 2020 lúc 17:23

A B C K I M H

a ) Áp dụng đinh lí Pytago vào các tam giác vuông ta được :
\(AK^2+BH^2+CI^2=AM^2-MK^2+BM^2-MH^2+CM^2-MI^2\)

\(=\left(AM^2-MI^2\right)+\left(BM^2-MK^2\right)+\left(CM^2-MH^2\right)\)

\(=AI^2+BK^2+CH^2\)

b ) Đặt \(B=AK^2+BH^2+CI^2\)

\(\Rightarrow2B=\left(AK^2+BH^2+CI^2\right)+\left(AK^2+BH^2+CI^2\right)\)

\(=\left(AK^2+BH^2+CI^2\right)+\left(AI^2+CH^2+BK^2\right)\)

\(=\left(AK^2+BK^2\right)+\left(BH^2+HC^2\right)+\left(CI^2+IA^2\right)\)

Ta có BĐT sau : \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)( tự chứng minh )

Áp dụng ta được : \(2B\ge\frac{\left(AK+BK\right)^2}{2}+\frac{\left(BH+HC\right)^2}{2}+\frac{\left(CI+IA\right)^2}{2}\)

\(=\frac{AB^2}{2}+\frac{BC^2}{2}+\frac{CA^2}{2}=\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{2}\)

\(\Rightarrow B\ge\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{4}\) không đổi

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow M\) là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC

Chúc bạn học tốt !!

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Trí Phạm
Xem chi tiết
Thai Hoang
Xem chi tiết
Nguyễn Trọng Chiến
Xem chi tiết
Curry
Xem chi tiết
:))))
Xem chi tiết
Ngọc Trang
Xem chi tiết
Hello-Tôi yêu các bạn
Xem chi tiết
Ndanmay
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết