Violympic toán 9

Trí Phạm

Cho ΔABC có 3 góc nhọn. Từ một điểm I thuộc miền trong tam giác kẻ IH, IK, IL lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Tìm vị trí điểm I sao cho \(AL^2+BH^2+CK^2\) nhỏ nhất.

Nguyễn Lê Diễm My
8 tháng 8 2020 lúc 14:20

* Tự vẽ hình nha:

Xét các tam giác vuông ALI và AKI ta có:

AL2 + LI2 = AI2 = AK2 + KI2

BH2 + IH2 = BI2 = BL2 + LI2

CK2 + KI2 = CI2 = CH2 + IH2

=> AL2 + BH2 + CK2 = AK2 + CH2 + BL2

=> 2(AL2 + BH2 +CK2) = (AL2 + LB2) + (BH2 + HC2) + (CK2 + KA2)

\(\frac{\left(AL+LB\right)^2}{2}+\frac{\left(BH+HC\right)^2}{2}+\frac{\left(CK+KA\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\left(AB^2+BC^2+CA^2\right)\)

=> ( AL2 + BH2 + CK2) ≥ \(\frac{1}{4}\)(AB2 + BC2 + CA2)

Vậy minAL2 + BH2 + CK2 \(\frac{1}{4}\)(AB2 + BC2 + CA2)

Dấu " = " xảy ra ⇔ I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Núi non tình yêu thuần k...
Xem chi tiết
Nguyen Dang Khoa
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyệt Trần
Xem chi tiết
Phương Nguyễn 2k7
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
Thai Hoang
Xem chi tiết