Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ trung tuyến AM. Từ M kẻ ME vuông góc vs AB tại E, MF vuông góc vs AC tại F.
a) chứng minh tam giác BEM và tam giác CFM
b) C/m AM là trung trực của EF
c) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc vs AB tại B, từ C kẻ đường thẳng vuông góc vs AC tại C, 2 đường thẳng này cắt nhau tại D. Chứng minh A, M, D thẳng hàng
a) Xét ΔBEM vuông tại E và ΔCFM vuông tại F có
BM=CM(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC)
\(\widehat{EBM}=\widehat{FCM}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
Do đó: ΔBEM=ΔCFM(cạnh huyền-góc nhọn)
b) Ta có: ΔBEM=ΔCFM(cmt)
⇒ME=MF(hai cạnh tương ứng)
hay M nằm trên đường trung trực của EF(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: ΔBEM=ΔCFM(cmt)
⇒BE=CF(hai cạnh tương ứng)
Ta có: AE+BE=AB(E nằm giữa A và B)
AF+CF=AC(F nằm giữa A và C)
mà AB=AC(ΔABC cân tại A)
và BE=CF(cmt)
nên AE=AF
hay A nằm trên đường trung trực của EF(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của EF(đpcm)
c) Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{DBC}=\widehat{ABD}\)(tia BC nằm giữa hai tia BA,BD)
⇒\(\widehat{ABC}+\widehat{DBC}=90^0\)
hay \(\widehat{DBC}=90^0-\widehat{ABC}\)(3)
Ta có: \(\widehat{ACB}+\widehat{DCB}=\widehat{ACD}\)(tia CB nằm giữa hai tia CA,CD)
⇒\(\widehat{ACB}+\widehat{DCB}=90^0\)
hay \(\widehat{DCB}=90^0-\widehat{ACB}\)(4)
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
⇒\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy)(5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra \(\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\)
Xét ΔDBC có \(\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\)(cmt)
nên ΔDBC cân tại D(định lí đảo của tam giác cân)
hay DB=DC
⇒D nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(6)
Ta có: MB=MC(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC)
nên M nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(7)
Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
hay A nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(8)
Từ (6),(7) và (8) suy ra A,M,D thẳng hàng(đpcm)
