Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ trung tuyến AM. Từ M kẻ ME vuông góc với AB, kẻ MF vuông góc với AC
a) Chứng minh: Tam giác BEM = Tam giác CFM
b) Chứng minh AM là đường trung trực của EF
c) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B, từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, hai đường này cắt nhau tại D. Chứng minh 3 điểm A, M, D thẳng hàng
d) So sánh ME và DC
a) Xét ΔBEM vuông tại E và ΔCFM vuông tại F có
BM=CM(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC trong ΔABC)
\(\widehat{EBM}=\widehat{FCM}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
Do đó: ΔBEM=ΔCFM(cạnh huyền-góc nhọn)
b) Ta có: ΔBEM=ΔCFM(cmt)
⇒ME=MF(hai cạnh tương ứng)
hay M là đường trung trực của EF(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: ΔBEM=ΔCFM(cmt)
⇒BE=CF(hai cạnh tương ứng)
Ta có: AE+BE=AB(E nằm giữa A và B)
AF+CF=AC(F nằm giữa A và C)
mà BE=CF(cmt)
và AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên AE=AF
hay A nằm trên đường trung trực của EF(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của EF(đpcm)
c) Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
hay A nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Ta có: MB=MC(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC trong ΔABC)
nên M nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)
Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{DBC}=\widehat{ABD}\)(tia BC nằm giữa hai tia BA và BD)
\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}+\widehat{DBC}=90^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{DBC}=90^0-\widehat{ABC}\)(5)
Ta có: \(\widehat{ACB}+\widehat{DCB}=\widehat{ACD}\)(tia CB nằm giữa hai tia CA và CD)
\(\Leftrightarrow\widehat{ACB}+\widehat{DCB}=90^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{DCB}=90^0-\widehat{ACB}\)(6)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)(7)
nên từ (5), (6) và (7) suy ra \(\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\)
Xét ΔDBC có \(\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\)(cmt)
nên ΔDBC cân tại D(định lí đảo của tam giác cân)
⇒DB=DC
hay D nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(8)
Từ (3), (4) và (8) suy ra A,M,D thẳng hàng(đpcm)
d) Ta có: ME=MF(cmt)(9)
Ta có: ΔMFC vuông tại F(MF⊥AC)
⇒MC là cạnh huyền của ΔMFC vuông tại F(MC là cạnh đối diện với \(\widehat{MFC}=90^0\))
⇒MC là cạnh lớn nhất trong ΔMFC vuông tại F(trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)
⇒MC>MF(10)
Từ (9) và (10) suy ra MC>ME(11)
Ta có: ΔDMC vuông tại M(AM⊥BC, D∈AM)
⇒DC là cạnh huyền của ΔMCD vuông tại M(vì DC là cạnh đối diện với \(\widehat{DMC}=90^0\))
⇒DC là cạnh lớn nhất trong ΔMCD(trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)
⇒DC>MC(12)
Từ (11) và (12) suy ra DC>ME
hay ME<DC
Vậy: ME<DC
