Question

Cho tam giác ABC (AB < CA) có các góc B,C nhọn. Gọi AH và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến của tam giác ABC (H và M thuộc cạnh BC). Biết rằng BA^H = CA^M. Chứng minh BA^C = 90 độ. Mng giúp mình với

Answer 1

Trên tia AH lấy E sao cho HA=HE

=>H là trung điểm của AE

Trên tia AM lấy K sao cho AM=MK

=>M là trung điểm của AK

Xét ΔAKE có

H,M lần lượt là trung điểm của AE,AK

=>HM là đường trung bình của ΔAKE

=>KE//HM

=>KE//BC

=>KE\(\perp\)AE tại E

Xét tứ giác ABKC có

M là trung điểm chung của AK và BC

=>ABKC là hình bình hành

=>KB//AC

=>\(\widehat{BKA}=\widehat{CAK}\)

Xét ΔBAE có

BH là đường cao

BH là đường trung tuyến

Do đó; ΔBAE cân tại B

=>BA=BE và \(\widehat{BAE}=\widehat{BEA}\)

Ta có: \(\widehat{BAE}=\widehat{BEA}\)

\(\widehat{BKA}=\widehat{CAM}\)

mà \(\widehat{CAM}=\widehat{BAE}\)

nên \(\widehat{BEA}=\widehat{BKA}\)

=>BEKA là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{KEA}=\widehat{KBA}=90^0\)

Hình chữ nhật ABKC có \(\widehat{KBA}=90^0\)

nên ABKC là hình chữ nhật

=>\(\widehat{BAC}=90^0\)