Để phương trình có nghiệm khi \(\Delta>0\)
\(\Delta=\left(2m+4\right)^2-4\left(m^2+4m+3\right)=4m^2+16m+16-4m^2-16m-12\)
\(=4>0\)
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm pb
Theo Vi et : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2m+4\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2+4m+3\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(2m+4\right)^2-2\left(m^2+4m+3\right)\)
\(=4m^2+16m+16-2m^2-8m-6=2m^2+8m+10\)
\(=2\left(m^2+4m+5\right)=2\left(m+2\right)^2+2\ge2\)
Dấu ''='' xảy ra khi m = -2
\(\Delta'=\left(m+2\right)^2-\left(m^2+4m+3\right)=1>0\)
\(\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm phân biệt
Áp dụng hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+4\\x_1x_2=m^2+4m+3\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m+2\right)^2-2\left(m^2+4m+3\right)\)
\(=2m^2+8m+10=2\left(m^2+4m+4\right)+2=2\left(m+2\right)^2+2\ge2\)
\(\Rightarrow\) GTNN của \(x_1^2+x_2^2=2\) khi \(m=-2\)
