Question

Cho phương trình: x² + 2(m-2)x + m² - 2m + 4 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt x₁, x₂ sao cho \(\frac{2}{x_1^2+x_2^2}-\frac{1}{x_1.x_2}=\frac{1}{15m}\)

Answer 1

Ta có:\(\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m^2-2m+4\right)=-2m\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta'>0\) \(\Leftrightarrow-2m>0\Leftrightarrow m< 0\)

Theo Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4-2m\\x_1\cdot x_2=m^2-2m+4\end{matrix}\right.\)

Mặt khác: \(\frac{2}{x_1^2+x_2^2}-\frac{1}{x_1x_2}=\frac{1}{15m}\) \(\Leftrightarrow\frac{2}{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}-\frac{1}{x_1x_2}=\frac{1}{15m}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{\left(4-2m\right)^2-2\left(m^2-2m+4\right)}-\frac{1}{m^2-2m+4}=\frac{1}{15m}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{m^2-6m+4}-\frac{1}{m^2-2m+4}=\frac{1}{15m}\)

\(\Rightarrow\) ...