a) Với m = 0 , ta có :
(1) ⇔ x2 - 4x + 3 = 0
⇔ ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 0
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\end{matrix}\right.\)
b) Để PT có 2 nghiệm x1, x2 thì :
Δ ≥ 0 ⇔ 1 ≥ 0 ( BĐT đúng với mọi m ∈ R )
Theo Vi-ét ta có :\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+2\right)\\x_1x_2=m^2+4m+3\end{matrix}\right.\)
⇒ A = x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 - 2x1x2
= 4 ( m + 2 )2 - 2 ( m2 + 4m + 3 )
= 4 ( m2 + 4m + 4 ) - 2m2 - 8m - 6
= 2m2 + 8m + 10
= 2 ( m + 2 )2 + 2 ≥ 2
Dấu " = " xảy ra khi ( m + 2 )2 = 0 ⇔ m = - 2
Vậy Amin = 2 khi m = -2
Xét phương trình :
\(x^2-2\left(m+2\right)x+m^2+4m+3=0\)
\(\left(a=1;b=-2\left(m+2\right);c=m^2+4m+3\right)\)
\(b'=-\left(m+2\right)\)
a/ Thay \(m=0\) vào phương trình ta có :
\(x^2-2\left(0+2\right)x+0^2+4.0+3=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\end{matrix}\right.\)
Vậy...
b/ Ta có :
\(\Delta'=b'^2-ac\)
\(=\left(m+2\right)^2-1.\left(m^2+4m+3\right)\)
\(=m^2+4m+4-m^2-4m-3\)
\(=1>0\)
\(\Leftrightarrow\Delta'>0\)
\(\Leftrightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Theo định lí Viet ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2\left(m+2\right)=2m+4\\x_1.x_2=\frac{c}{a}=m^2+4m+3\end{matrix}\right.\)
Ta có : \(A=x_1^2+x_2^2\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2\)
\(=\left(2m+4\right)^2-2\left(m^2+4m+3\right)\)
\(=4m^2+16m+16-2m^2-8m-6\)
\(=2m^2-8m+10\)
\(=2\left(m^2-4m+5\right)\)
\(=2\left(m-2\right)^2+2\)
Với mọi m ta có : \(\left(m-2\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(m-2\right)^2+2\ge2\)
\(\Leftrightarrow A\ge2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow m=2\)
Vậy..
