Question

Cho phương trình: \(x^2-\left(m-2\right)x-2m=0\) (1)

a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có 2 nghiệm \(x_1;x_2\) với mọi m

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm \(x_1;x_2\) sao cho \(x^2_1\)+\(x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

\(pt:x^2-\left(m-2\right)x-2m=0\left(1\right)\)

\(\Delta=\left(2-m\right)^2-4.\left(-2m\right)=4-4m+m^2+8m=m^2+4m+4=\left(m+2\right)^2\ge0\forall m\)

⇒ pt luôn có nghiệm

Theo hệ thức Vi-et: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-2\\x_1x_2=-2m\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(m-2\right)^2-2.\left(-2m\right)=m^2-4m+4+4m=m^2+4\)

Vì \(m^2\ge0\forall m\Rightarrow m^2+4\ge4\forall m\)

Vậy \(m=0\) thì pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) đạt \(Min=4\)