Cho phương trình
\(x^2-2\left(m-1\right)x+m+1=0\)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép.
b) Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho thoả mản \(x^4_1-x_2^4=0\).
c) Tìm điều kiện m để hai nghiệm \(x_1,x_2\) xủa phương trình tương ứng là hai cạnh vuông của một tam giác vuông. Khi này tính tổng chu vi và diện tích của một tam giác vuông cân với \(x_1,x_2\) là hai cạnh góc vuông tương ứng.
a/ \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m+1\right)=m^2-3m\)
Để pt có nghiệm kép \(\Rightarrow m^2-3m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=3\end{matrix}\right.\)
b/ \(m^2-3m\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m\le0\end{matrix}\right.\)
Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=m+1\end{matrix}\right.\)
\(x_1^4-x_2^4=0\Leftrightarrow\left(x_1^2-x_2^2\right)\left(x_1^2+x_2^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1^2-x_2^2=0\\x_1^2+x_2^2=0\left(vn\right)\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=0\)
TH1: \(x_1-x_2=0\Rightarrow x_1=x_2\)
\(\Rightarrow\) pt đã cho có nghiệm kép \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=3\end{matrix}\right.\)
TH2: \(x_1+x_2=0\Leftrightarrow2\left(m-1\right)=0\Rightarrow m=1\)
c/ Để \(x_1;x_2\) là 2 cạnh của 1 tam giác \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1>0\\x_2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(m-1\right)>0\\m+1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>1\)
Khi \(x_1;x_2\) là hai cạnh của một tam giác vuông cân
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1>0\\x_2>0\\x_1=x_2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=3\)
\(\Rightarrow x_1=x_2=\frac{2\left(m-1\right)}{2}=2\)
Diện tích tam giác: \(S=\frac{1}{2}x_1x_2=2\)
Chu vi tam giác: \(C=x_1+x_2+\sqrt{x_1^2+x_2^2}=4+2\sqrt{2}\)
Tổng chu vi và diện tích: \(2+4+2\sqrt{2}=6+2\sqrt{2}\)
