Question

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằn a. Trên các cạnh CD và BB' ta lần lượt lấy các điểm M và N sao cho DM = BN = x với \(0\le x\le a\) . Chứng minh rằng AC' vuông góc với MN 

Answer 1

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{DM}=k.\overrightarrow{DC}=k.\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{BN}=k.\overrightarrow{BB'}=k.\overrightarrow{AA'}\end{matrix}\right.\)

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=-k.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+k.\overrightarrow{AA'}\)

\(=\left(1-k\right)\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+k.\overrightarrow{AA'}\)

\(\overrightarrow{AC'}.\overrightarrow{MN}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}\right)\left(\left(1-k\right).\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+k.\overrightarrow{AA'}\right)\)

\(=\left(1-k\right)AB^2-AD^2+k.AA'^2\)

\(=a^2\left(1-k-1+k\right)=0\)