Question

Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+x^2+y^2=8\\xy\left(x+1\right)\left(y+1\right)=m\end{matrix}\right.\)

Số các giá trị nguyên để hệ phương trình có nghiệm

Answer 1

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+x^2+y^2=8\\xy\left(x+1\right)\left(y+1\right)=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x+y^2+y=8\\\left(x^2+x\right)\left(y^2+y\right)=m\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+x=a\\y^2+y=b\end{matrix}\right.\left(a,b\ge-\frac{1}{4}\right)\)

Hệ phương trình trở thành \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=8\\ab=m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a,b\) là nghiệm của phương trình \(t^2-8t+m=0\left(1\right)\)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình \(\left(1\right)\) có nghiệm \(t_1,t_2\ge-\frac{1}{4}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow m=f\left(t\right)=-t^2+8t\)

Xét bảng biến thiên:

Từ bảng bảng biến thiên, ta được \(-\frac{33}{16}\le m\le16\)