Lời giải:
Sử dụng liên hợp
Dễ thấy \(x\neq \sqrt{x^2+2011}; y\neq \sqrt{y^2+2011}\)
PT ban đầu: \((x+\sqrt{x^2+2011})(y+\sqrt{y^2+2011})=2011(*)\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2-(x^2+2011)}{x-\sqrt{x^2+2011}}.\frac{y^2-(y^2+2011)}{y-\sqrt{y^2+2011}}=2011\)
\(\Leftrightarrow \frac{2011^2}{(x-\sqrt{x^2+2011})(y-\sqrt{y^2+2011})}=2011\)
\(\Rightarrow (x-\sqrt{x^2+2011})(y-\sqrt{y^2+2011})=2011(**)\)
Lấy \((*)-(**)\) thu được:
\(2x\sqrt{y^2+2011}+2y\sqrt{y^2+2011}=0\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{y^2+2011}=-y\sqrt{x^2+2011}(***)\)
Bình phương hai vế:
\(x^2(y^2+2011)=y^2(x^2+2011)\)
\(\Leftrightarrow 2011x^2=2011y^2\Leftrightarrow (x-y)(x+y)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x+y=0\\ x-y=0\end{matrix}\right.\)
Nếu \(x-y=0\Leftrightarrow x=y\)
Thay vào $(***)$ suy ra ngay $x=y=0$ suy ra \(x+y=0\)
Tóm lại trong mọi TH thì $x+y=0$
