Câu hỏi của asssssssaasawdd

Question

Cho hai số thực a,b thay đổi thỏa mãn điều kiện a+b≥1a+b≥1 và a>0a>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{8a^2+b}{4a}+b^2$

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

$a+b\ge1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ge1-b\b\ge1-a\end{matrix}\right.$

$P=2a+\frac{b}{4a}+b^2=a+\frac{b}{4a}+b^2+a$

$P\ge a+\frac{1-a}{4a}+b^2+1-b=a+\frac{1}{4a}+b^2-b+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$

$P\ge2\sqrt{\frac{a}{4a}}+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{3}{2}$

$A_{min}=\frac{3}{2}$ khi $a=b=\frac{1}{2}$Câu trả lời: $a+b\ge1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ge1-b\b\ge1-a\end{matrix}\right.$

$P=2a+\frac{b}{4a}+b^2=a+\frac{b}{4a}+b^2+a$

$P\ge a+\frac{1-a}{4a}+b^2+1-b=a+\frac{1}{4a}+b^2-b+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$

$P\ge2\sqrt{\frac{a}{4a}}+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{3}{2}$

$A_{min}=\frac{3}{2}$ khi $a=b=\frac{1}{2}$

Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH