a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:
\(\widehat{A}\) (chung)
AB = AC (\(\Delta ABC\) cân tại A)
\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^0\)
Do đó: \(\Delta ABD=\Delta ACE\left(ch-gn\right)\)
=> BD = CE (hai cạnh tương ứng)
b) Vì \(\Delta ABD=\Delta ACE\left(cmt\right)\)
=> \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) (hai góc tương ứng)
=> AE = AD (hai cạnh tương ứng)
mà AB = AC
mà AE + EB = AB
AD + DC =AC
=> EB = DC
Xét \(\Delta EHB\) và \(\Delta DHC\) có:
\(\widehat{BEH}=\widehat{CDH}=90^0\)
EB = DC (cmt)
\(\widehat{EBH}=\widehat{DCH}\left(\widehat{ABH}=\widehat{ACE}\right)\)
Do đó: \(\Delta EHB=\Delta DHC\left(c-g-c\right)\)
=> BH = CH (hai cạnh tương ứng)
=> \(\Delta BHC\) cân tại H
c) Vì CE \(\perp\) AB
=> CE là đường trung trực \(\Delta ABC\)
Vì BD \(\perp\) AC
=> BD là đường trung trực \(\Delta ABC\)
mà CE và BD cắt nhau tại H
=> H là trực tâm
gọi I là giao điểm của AH và BC
=> AI là đường trung trực cạnh BC
hay AH là đường trung trực cạnh BC
d) Xét \(\Delta BDC\)và \(\Delta KDC\)có:
DC (chung)
\(\widehat{BDC}=\widehat{KDC}=90^0\)
BD = KD (D là trung điểm cạnh BC )
Do đó: \(\Delta BDC=\Delta KDC\left(c-g-c\right)\)
=> \(\widehat{DBC}=\widehat{DKC}\) (hai góc tương ứng) (1)
Vì \(\Delta BHC\) cân tại H
=> \(\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\)
hay \(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\) (2)
(1; (2) => \(\widehat{ECB}=\widehat{DKC}\) (đpcm)
