Cho ΔABC, I là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm N sao cho IB = IN.
a) CM: ΔBIC = ΔNIA
b) CM: AN song song với BC.
c) Gọi K là trung điểm AB. Trên tia đối của tia KC lấy didemr M sao cho KM = KC. CM: 3 điểm M, A, N thẳng hàng.
d) Các tia phân giác của BKC và BIC cắt nhau tại điểm D. CMR: ∠KBI + ∠KCI = 2∠KDI.
a.Ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}BI=IN\\\widehat{AIN}=\widehat{BIC}\\IA=IC\end{matrix}\right.\rightarrow\Delta BIC=\Delta NIA\left(c-g-c\right)\)
b.Từ câu a
\(\rightarrow\widehat{ANI}=\widehat{IBC}\rightarrow AN//BC\)
c.Chứng minh tương tự ta có :
\(AM//BC\rightarrow A,M,N\) thẳng hàng
d.Vì K,I là trung điểm AB, AC
\(\frac{AK}{AB}=\frac{IA}{IC}=\frac{1}{2}\rightarrow KI//BC\) Ta có : \(\widehat{KDI}=180^O-\widehat{DKC}-\widehat{CKI}-\widehat{KIB}-\widehat{BID}\) \(=180^O-\frac{1}{2}\widehat{BKC}-\widehat{KCB}-\widehat{IBC}-\frac{1}{2}\widehat{BIC}\) \(=\left(90^O-\frac{1}{2}\widehat{BKC}\right)-\widehat{KCI}-\widehat{IBK}-\left(90^O-\frac{1}{2}BIC\right)\) \(=\frac{1}{2}\left(\widehat{KBC}-\widehat{KIC}\right)-\widehat{KCI}-\widehat{IBK}-\frac{1}{2}\left(\widehat{IBC}--\widehat{ICB}\right)\) \(=\frac{1}{2}\left(\widehat{KBI}-\widehat{KCI}\right)\) \(\rightarrow\widehat{KBI}+\widehat{KCI}=2\widehat{KDI}\)
