Question

Cho các số thực $x;y$ bất kì và số thực dương $k>1$ sao cho $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=k^2$ Chứng minh: $x+y \geq k-\dfrac{1}{k}$

Answer 1

Dễ dàng chứng minh được:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+1}+x=k^2\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)\\\sqrt{y^2+1}+y=k^2\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(k^2+1\right)=\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}\right)\left(k^2-1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\left(k^2+1\right)^2=\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}\right)^2\left(k^2-1\right)^2\)

Ta có: \(\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}\right)^2=x^2+y^2+2+2\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}\ge_{Cauchy-Schwars}x^2+y^2+2+2\left(xy+1\right)=\left(x+y\right)^2+4\).

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\left(k^2+1\right)^2\ge\left[\left(x+y\right)^2+4\right]\left(k^2-1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2.4k^2\ge4\left(k^2-1\right)^2\Rightarrow x+y\ge\frac{k^2-1}{k}=k-\frac{1}{k}\). (đpcm)

Answer 2

Bài này có 1 cách khác là sử dụng AM-GM có vẻ đơn giản hơn:

Câu hỏi của Quỳnh Nguyễn Thị Ngọc - Toán lớp 10 | Học trực tuyến