Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Kimian Hajan Ruventaren

Cho các số thực a,b,c thuộc đoạn [0;1]. Tìm Max

\(P=\dfrac{a}{b+c+1}+\dfrac{b}{a+c+1}+\dfrac{c}{a+b+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)

Nguyễn Việt Lâm
10 tháng 4 2021 lúc 17:44

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{a}{b+c+1}+\dfrac{b}{b+c+1}+\dfrac{c}{b+c+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{a+b+c}{b+c+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\dfrac{a-1}{b+c+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)+1\)

\(\Rightarrow P\le\left(1-a\right)\left[\left(1-b\right)\left(1-c\right)-\dfrac{1}{b+c+1}\right]+1\le\left(1-a\right)\left[\left(1-b\right)\left(1-c\right)-\dfrac{1}{bc+b+c+1}\right]+1\)

\(\Rightarrow P\le\left(1-a\right)\left[\left(1-b\right)\left(1-c\right)-\dfrac{1}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\right]+1\)

\(\Rightarrow P\le\left(1-a\right)\left(\dfrac{\left(1-b^2\right)\left(1-c^2\right)-1}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\right)+1\)

Do \(a;b;c\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-a\ge0\\\left(1-b^2\right)\left(1-c^2\right)\le1\\\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(1-a\right)\left[\dfrac{\left(1-b^2\right)\left(1-c^2\right)-1}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\right]\le0\)

\(\Rightarrow P\le1\)

\(P_{max}=1\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;0\right);\left(1;1;1\right);\left(0;1;1\right);\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị


Các câu hỏi tương tự
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Quách Phú Đạt
Xem chi tiết
vung nguyen thi
Xem chi tiết
Ngô Thành Chung
Xem chi tiết
Nguyễn Trần
Xem chi tiết
vung nguyen thi
Xem chi tiết
SA Na
Xem chi tiết
Thảo Vi
Xem chi tiết
Neet
Xem chi tiết