Question

cho các số nguyên dương x,y thỏa mãn \(x^3-9y^2+9x-6y=1\)                                                   a) chứng minh \(\dfrac{x}{x^2+9}\) là phân số tối giản                                                                                     b) tìm tất cả các cặp số (x;y) 

 

Answer 1

Lời giải:

$x^3-9y^2+9x-6y=1$

$\Leftrightarrow x^3+9x=9y^2+6y+1$

$\Leftrightarrow x(x^2+9)=(3y+1)^2$

Đặt $(x,x^2+9)=d$ thì suy ra $9\vdots d(*)$

$(3y+1)^2=x(x^2+9)\vdots d^2\Rightarrow 3y+1\vdots d$. Mà $(3y+1,3)=1$ nên $(3,d)=1(**)$

Từ $(*);(**)\Rightarrow d=1$, hay $x,x^2+9$ nguyên tố cùng nhau. 

$\Rightarrow \frac{x}{x^2+9}$ là phấn số tối giản.