Ta có \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\Leftrightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>1\)
Ta lại có bất đẳng thức \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)
Áp dụng ta có \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\Leftrightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
Vậy \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
Ta có aa+b+bb+c+cc+a>aa+b+c+ba+b+c+ca+b+c=a+b+ca+b+c=1⇔aa+b+bb+c+cc+a>1aa+b+bb+c+cc+a>aa+b+c+ba+b+c+ca+b+c=a+b+ca+b+c=1⇔aa+b+bb+c+cc+a>1
Ta lại có bất đẳng thức ab<a+cb+cab<a+cb+c
Áp dụng ta có aa+b+bb+c+cc+a<a+ca+b+c+b+aa+b+c+c+ba+b+c=2(a+b+c)a+b+c=2⇔aa+b+bb+c+cc+a<2aa+b+bb+c+cc+a<a+ca+b+c+b+aa+b+c+c+ba+b+c=2(a+b+c)a+b+c=2⇔aa+b+bb+c+cc+a<2
Vậy 1<aa+b+bb+c+cc+a<2
