Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ngô thừa ân

cho ba số x,y,z thỏa mãn x+y+z=3 giá trị lớn nhất của biểu thức P =xy+yz+zx là

Akai Haruma
19 tháng 11 2017 lúc 22:13

Lời giải:

Xét hiệu:

\(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=\frac{2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)}{2}\)

\(=\frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2}\)

Thấy rằng \((x-y)^2; (y-z)^2; (z-x)^2\geq 0\forall x,y,z\in\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2}\geq 0\)

hay \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\geq 0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)\geq 3(xy+yz+xz)\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)\Leftrightarrow 9\geq 3(xy+yz+xz)\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+xz\leq 3\)

Vậy \((P=xy+yz+xz)_{\max}=3\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)


Các câu hỏi tương tự
Le Chi
Xem chi tiết
Le Chi
Xem chi tiết
nguyen ha giang
Xem chi tiết
nguyen ha giang
Xem chi tiết
nguyen ha giang
Xem chi tiết
nguyen ha giang
Xem chi tiết
Mai Thành Đạt
Xem chi tiết
Phạm Thùy Linh
Xem chi tiết
nguyen ha giang
Xem chi tiết