Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thị Kim Ngọc

Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca+\frac{(a-b)^2}{26}+\frac{(b-c)^2}{6}+\frac{(c-a)^2}{2009}\)

Nguyễn Việt Lâm
24 tháng 10 2020 lúc 20:13

Với mọi a;b;c ta luôn có:

\(\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{3}\left(a-b\right)^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab+\frac{\left(a-b\right)^2}{3}\)

Tương tự: \(b^2+c^2\ge2bc+\frac{\left(b-c\right)^2}{3}\) ; \(c^2+a^2\ge2ca+\frac{\left(a-c\right)^2}{3}\)

Cộng vế với vế và rút gọn:

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca+\frac{\left(a-b\right)^2}{6}+\frac{\left(b-c\right)^2}{6}+\frac{\left(c-a\right)^2}{6}\ge ab+bc+ca+\frac{\left(a-b\right)^2}{26}+\frac{\left(b-c\right)^2}{6}+\frac{\left(c-a\right)^2}{2009}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Huyền
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết
Cathy Trang
Xem chi tiết
Luân Đào
Xem chi tiết
Nano Thịnh
Xem chi tiết
asssssssaasawdd
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Ngà
Xem chi tiết