Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thu Huyền

Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng: \(\frac{a^5}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^5}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^5}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\)

tthnew
18 tháng 8 2019 lúc 8:34

By Cauchy-Schwarz, we have:

\(VT\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)+a^2b+b^2c+c^2a}\)

We will prove: \(a^2b+b^2c+c^2a\le a^3+b^3+c^3\)

\(\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+3abc\le a^3+b^3+c^3+3abc\)

By Schur, we have: \(RHS\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(a\right)\)

So we're only need to prove: \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\ge a^2b+b^2c+c^2a+3abc\)

\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\ge3abc\)

It is true by AM-GM ineq', so we have Q.E.D.

P/s: Em thử giải bài này bằng tiếng Anh (để tự luyện kĩ năng tiếng anh, tí em giải lại theo tiếng việt)

tthnew
18 tháng 8 2019 lúc 8:35

Ấy nhầm:V

By Schur, we have \(RHS\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)

So we're only need to prove \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\ge a^2b+b^2c+c^2a\)

Còn lại y chang:v

tthnew
18 tháng 8 2019 lúc 8:42

Làm màu bằng tiếng anh và cái kết...:V (nãy làm nhầm, phải sửa lại đó)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,ta có:

\(VT\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)+a^2b+b^2c+c^2a}\)

Ta sẽ chứng minh \(a^2b+b^2c+c^2a\le a^3+b^3+c^3\) (để từ đó suy ra đpcm)

Thật vậy, thêm 3abc vào hai vế, BĐT cần chứng minh tương đương:

\(a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2b+b^2c+c^2a+3abc\).

Áp dụng BĐT Schur, \(VT=a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)

Do đó ta chỉ cần chứng minh \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\ge a^2b+b^2c+c^2a+3abc\)

Hay \(ab^2+bc^2+ca^2\ge3abc\). BĐT này đúng theo AM-GM


Các câu hỏi tương tự
khoimzx
Xem chi tiết
Luân Đào
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Nano Thịnh
Xem chi tiết
Cathy Trang
Xem chi tiết
asssssssaasawdd
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết