Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Agami Raito

Cho a;b;c > 0 và a+b+c = 3. Chứng minh rằng \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+bc+b^2}\)≥1

 Mashiro Shiina
13 tháng 3 2019 lúc 23:11

\(A=\sum\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\sum\frac{a^3}{\frac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)}\)

\(\sum\frac{a^3}{a^2+b^2}\ge\sum\left(a-\frac{b}{2}\right)=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrowđpcm."="\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Khôi Bùi
13 tháng 3 2019 lúc 23:33

Cách 2 :

\(\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3-a^3}{a^2+ac+c^2}=a-b+b-c+c-a=0\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{a^2+ac+c^2}\)

Đặt \(A=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{a^2+ac+c^2}\)

\(B=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}\)

\(\Rightarrow A+B=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}+\frac{\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)}{b^2+bc+c^2}+\frac{\left(a+c\right)\left(a^2-ac+c^2\right)}{a^2+ac+c^2}\)

Đặt \(P=\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\) => \(P=\frac{1}{3}+\frac{2\left(a-b\right)^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow P\left(a+b\right)\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\)

Làm tương tự như vậy , ta có :

\(A+B\ge\frac{a+b}{3}+\frac{b+c}{3}+\frac{c+a}{3}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=\frac{2.3}{3}=2\)

\(A=B\Rightarrow A\ge1\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Vậy ...


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thu Huyền
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
Luân Đào
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Lê Đình Quân
Xem chi tiết
asssssssaasawdd
Xem chi tiết
Nano Thịnh
Xem chi tiết