Question

Cho \(A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\). Tìm số nguyên x để A có giá trị là một số nguyên

Giúp với!! Tối nay đi học rùi

Answer 1

Khai triển :

\(A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\)

Ta có :

A nguyên

<=> 1+\(\frac{4}{\sqrt{x}-3}\) nguyên

<=> \(\frac{4}{\sqrt{x}-3}\) nguyên

<=> \(\sqrt{x}-3\inƯ_{\left(4\right)}\)

<=> \(\sqrt{x}-3\in\left\{1;2;4;-1;-2;-4\right\}\)

<=> \(\sqrt{x}\in\left\{4;5;7;2;1;-1\right\}\)

Mà \(\sqrt{x}\ge0\forall x\)

=> \(\sqrt{x}\in\left\{4;5;7;2;1\right\}\)

=> \(x\in\left\{16;25;49;4;1\right\}\)

Vậy \(x\in\left\{16;25;49;4;1\right\}\)

Answer 2

\(A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-3}+\frac{4}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\in Z\)

\(\Rightarrow4⋮\sqrt{x}-3\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-3\inƯ\left(4\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

Answer 3

 

Ta có : \(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\)

Để \(A\) là số nguyên nên \(\frac{4}{\sqrt{x}-3}\) phải là số nguyên \(\left(1\right)\)

Khi \(x\) là số nguyên \(\sqrt{x}\) hoặc số nguyên hoặc số vô tỉ

Nếu \(\sqrt{x}\) là số vô tỉ thì \(\sqrt{x}-3\) là số vô tỉ , trái với \(\left(1\right)\)

Vậy \(\sqrt{x}\) là số nguyên

Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\sqrt{x}-3\) phải là \(Ư\left(4\right)\) . Ta có bảng sau :

\(\sqrt{x}-3\)	\(-4\)	\(-2\)	\(-1\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)
\(\sqrt{x}\)	\(-1\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)	\(5\)	\(7\)
\(x\)	Không có giá trị của \(x\)	\(1\)	\(4\)	\(16\)	\(25\)	\(49\)

Vậy \(x\in\left\{1;4;16;25;49\right\}\)