Question

Cho A = \(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\). Tìm số nguyên x để A có giá trị nhỏ nhất

Answer 1

Ta có : \(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\)

Để \(A\) là số nguyên nên \(\frac{4}{\sqrt{x}-3}\) phải là số nguyên \(\left(1\right)\)

Khi \(x\) là số nguyên \(\sqrt{x}\) hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ

Nếu \(\sqrt{x}\) là số vô tỉ thì \(\sqrt{x}-3\) là số vô tỉ , trái với \(\left(1\right)\)

Vậy \(\sqrt{x}\) là số nguyên

Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\sqrt{x}-3\) phải là \(Ư\left(4\right)\) . Ta có bảng sau :

\(\sqrt{x}-3\)	\(-4\)	\(-2\)	\(-1\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)
\(\sqrt{x}\)	\(-1\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)	\(5\)	\(7\)
\(x\)	Không có giá trị của x	\(1\)	\(4\)	\(16\)	\(25\)	\(49\)

Vậy \(x\in\left\{1;4;16;25;49\right\}\)