\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{9}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{9}{2}\)
Vậy \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{9}{2}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Cho các số thực dương a,b thoả a+b<1.
Cm : a+b+1/a^2+1/b^2>=9 . Giúp mình với ạ .
Giúp e mấy bài này với ạ.
1) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab + bc + ca = 1.
Chứng minh rằng: \(\frac{3ab+1}{a+b}+\frac{3bc+1}{b+c}+\frac{3ac+1}{c+a}\ge4.\)
2) Cho các số thực dương a, b, c sao cho \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\le1\)
Chứng minh rằng: \(\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\ge125.\)
3) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = \(\frac{a^2+b^2}{9-ab}+\frac{b^2+c^2}{9-bc}+\frac{c^2+a^2}{9-ca}.\)
4) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{bc}{a\left(3b+a\right)}}+\sqrt{\frac{ac}{b\left(3c+b\right)}}+\sqrt{\frac{ab}{c\left(3a+c\right)}}\ge\frac{3}{2}\)
Cho a,b,c dương thoả mãn:
a+b+c= 1.
chứng minh rằng:
\(\dfrac{a}{a+1} + \dfrac{b}{b+1} + \dfrac{c}{c+1}\) Nhỏ hơn hoặc bằng 3/4.
ae cố lên
cho các số thực a,b,c dương chứng minh rằng a+b+c≤\(\frac{1}{2}\left(a^2b+b^2c+c^2a+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
cho a b c là các số thực dương sao cho abc = 1
chứng minh \(\frac{a}{ca+1}+\frac{b}{ab+1}+\frac{c}{bc+1}\le\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
cho a b c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. chứng minh \(\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\le\frac{3}{4}\)
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c<= 2 .chứng minh rằng \(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}\ge\frac{\sqrt{97}}{2}\)
cho các số thực dương a b c d thỏa \(a^2+b^2+c^2+d^2=4\)
chứng minh \(\left(a+b+c+d-2\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{2}\right)\ge9\)
Cho a, b, c là ba số dương và a + b + c = 6. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{\sqrt{b^3+1}+1}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}+1}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}+1}\ge\frac{3}{2}\)
