Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trái Tim Hoá Đá

Cho a,b,c dương thoả mãn:

a+b+c= 1.

chứng minh rằng:

\(\dfrac{a}{a+1} + \dfrac{b}{b+1} + \dfrac{c}{c+1}\) Nhỏ hơn hoặc bằng 3/4.

ae cố lên

Akai Haruma
25 tháng 2 2017 lúc 18:07

Giải:

Ta có: \(A=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=\left(1-\frac{1}{a+1}\right)+\left(1-\frac{1}{b+1}\right)+\left(1-\frac{1}{c+1}\right)\)

\(\Leftrightarrow A=3-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq \frac{9}{a+b+c+3}=\frac{9}{4}\)

Suy ra \(A\leq 3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Kuro Kazuya
25 tháng 2 2017 lúc 18:10

Xét: \(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c}{a+b+2c}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) với a , b > 0

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{a}{2a+b+c}=\frac{a}{a+b+a+c}\le\frac{a}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\\\frac{b}{a+2b+c}=\frac{b}{a+b+b+c}\le\frac{b}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\\\frac{c}{a+b+2c}=\frac{c}{a+c+b+c}\le\frac{c}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{a}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{b}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)+\frac{c}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{a}{4\left(a+b\right)}+\frac{a}{4\left(a+c\right)}+\frac{b}{4\left(a+b\right)}+\frac{b}{4\left(b+c\right)}+\frac{c}{4\left(a+c\right)}+\frac{c}{4\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\left[\frac{a}{4\left(a+b\right)}+\frac{b}{4\left(a+b\right)}\right]+\left[\frac{a}{4\left(a+c\right)}+\frac{c}{4\left(a+c\right)}\right]+\left[\frac{b}{4\left(b+c\right)}+\frac{c}{4\left(b+c\right)}\right]\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{a+b}{4\left(a+b\right)}+\frac{a+c}{4\left(a+c\right)}+\frac{b+c}{4\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\le\frac{3}{4}\) ( đpcm )


Các câu hỏi tương tự
Anxiety
Xem chi tiết
vung nguyen thi
Xem chi tiết
Quách Phú Đạt
Xem chi tiết
Phạm Thúy Vy
Xem chi tiết
Hoàng
Xem chi tiết
Trần Minh Tâm
Xem chi tiết
Anh Huy Nguyễn Hoàng
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
vvvvvvvv
Xem chi tiết