Lời giải:
Ta có:
$(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=1-1=0$
$\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)=0$
$\Leftrightarrow ab+bc+ac=0$
Đặt $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=t\Rightarrow x=\frac{a}{t}, y=\frac{b}{t}, z=\frac{c}{t}$
Do đó:
$xy+yz+xz=\frac{ab}{t^2}+\frac{bc}{t^2}+\frac{ac}{t^2}$
$=\frac{1}{t^2}(ab+bc+ac)=\frac{1}{t^2}.0=0$
Ta có đpcm.
Cho a,b,c,x,y,z >0 thỏa \(\dfrac{x^2-yz}{a}=\dfrac{y^2-xz}{b}=\dfrac{z^2-xy}{c}\)
Chứng minh \(\dfrac{a^2-bc}{x}=\dfrac{b^2-ac}{y}=\dfrac{c^2-ab}{z}\)
1) Cho a, b, c > 0. CMR: \(a^2+b^2+c^2+abc+5\ge3\left(a+b+c\right)\)
2) Cho a, b, c > 0, đặt \(x=a+\frac{1}{b}\), \(y=b+\frac{1}{c}\), \(z=c+\frac{1}{a}\). Chứng minh rằng: \(xy+yz+zx\ge2\left(x+y+z\right)\)
3) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: \(x^2+y^2+z^2+x+y+z\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Cho \(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-xz}{b}=\frac{z^2-xy}{c}\). Chứng minh rằng: \(\frac{a^2-bc}{x}=\frac{b^2-ca}{y}=\frac{c^2-ab}{z}\)
Cho x,y,z> 0 và xy+yz+xz =1 . Tìm Min B = \(x^2+y^2+az^2\) (a>0)
Cho các số thực a,b,c,x,y,z khác 0 thỏa mãn
\(\dfrac{x^2-yz}{a}=\dfrac{y^2-zx}{b}=\dfrac{z^2-xy}{c}\)
Chứng minh rằng \(\dfrac{a^2-bc}{x}=\dfrac{b^2-ac}{y}=\dfrac{c^2-ab}{z}\)
Cho tam giác ABC với AB = x, AC = y, BC = z . Hãy chứng minh : \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2< 2\left(xy+yz+xz\right)\)
Cho các số dương x;y;z thoả mãn:xyz=\(\frac{1}{2}\)Chứng minh rằng:
\(\frac{yz}{x^2\left(y+x\right)}+\frac{xz}{y^2\left(x+z\right)}+\frac{xy}{z^2\left(x+y\right)}\ge xy+yz+xz\)
1, Cho a,b các số thực khác 0. Chứng minh: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)
2, Cho x,y,z là các số thực khác 0 thỏa mãn: x+y+z+xy+yz+zx=6xyz.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Với các số thực âm x, y, z thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=2\)
a) chứng minh \(x+y+z\le2+xy\)
b) tìm min và max của \(P=\dfrac{x}{2+yz}+\dfrac{y}{2+xz}+\dfrac{z}{2+xy}\)
