Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hồng Nguyễn Thị Bích

Cho tam giác ABC với AB = x, AC = y, BC = z . Hãy chứng minh : \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2< 2\left(xy+yz+xz\right)\)

Akai Haruma
13 tháng 3 2020 lúc 0:11

Lời giải:

CM vế thứ nhất:

Xét hiệu: $x^2+y^2+z^2-(xy+yz+xz)=\frac{2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz}{2}=\frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2}\geq 0$ với mọi $x,y,z$ là độ dài 3 cạnh tam giác.

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz$ (đpcm)

CM vế thứ 2:

Áp dụng BĐT tam giác ta có:

$x< y+z\Rightarrow x^2< x(y+z)$

$y< x+z\Rightarrow y^2< y(x+z)$

$z< x+y\Rightarrow z^2< z(x+y)$

Cộng theo vế 3 điều trên suy ra $x^2+y^2+z^2< 2(xy+yz+xz)$ (đpcm)

Vậy.........

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
dia fic
Xem chi tiết
Lê Thanh Nhàn
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Lê Thị Mai
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết
Mai Huyền My
Xem chi tiết
Nguyễn Tấn Dũng
Xem chi tiết
Lê Thanh Nhàn
Xem chi tiết
hakito
Xem chi tiết