Violympic toán 9
Các câu hỏi tương tự
cho x,y,z thỏa mãn \(x+y+z\le\dfrac{3}{2}\) . tìm GTNN của \(P=\dfrac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\dfrac{y\left(xz+1\right)^2}{y^2\left(xy+1\right)}+\dfrac{z\left(xy+1\right)^2}{x^2\left(yz+1\right)}\)
Cho các số dương x;y;z thoả mãn:xyz=\(\frac{1}{2}\)Chứng minh rằng:
\(\frac{yz}{x^2\left(y+x\right)}+\frac{xz}{y^2\left(x+z\right)}+\frac{xy}{z^2\left(x+y\right)}\ge xy+yz+xz\)
Giải hệ phương trình sau : \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}=\dfrac{\left(x-y\right)^2}{2}\\\left(3x+2y\right)\left(y+1\right)=4-x^2\end{matrix}\right.\)
Cho 3 số dương x;y;z thỏa mãn x+y+z=6. CMR: \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz+xyz\ge8\)
1/Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: x+y≤4. Tìm GTNN \(P=\dfrac{x^4}{\left(y-1\right)^3}+\dfrac{y^4}{\left(x-1\right)^3}\)
2/ Cho x,y,z nguyên thỏa mãn :x+y+z=2013.Chứng minh:
\(Q=\left(x^2+xy+yz\right)^3+\left(y^2+yz+xz\right)^3+\left(z^2+xz+xy\right)^3⋮3\)
giải hệ phương trình
a)\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)=10\\\left(x+y\right)\left(xy-1\right)=3\end{matrix}\right.\)
b)\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+2\left(xy-2\right)=0\\x^2+y^2-2xy=16\end{matrix}\right.\)
c)\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2x\sqrt{y}+2y=x\\y^2-2y\sqrt{x}+2z=y\\z^2-2z\sqrt{x}+2x=z\end{matrix}\right.\)
Cho x,y,z>0; x+y+z=1
Tính \(Q=\sqrt{\dfrac{\left(x+yz\right)\left(y+xz\right)}{xy+z}}+\sqrt{\dfrac{\left(y+xz\right)\left(z+xy\right)}{x+yz}}+\sqrt{\dfrac{\left(x+yz\right)\left(z+xy\right)}{y+xz}}\)
Cho x, y, z là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:
a) \(\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)\ge\left(xy+yz+zx-1\right)^2\)
b) \(\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)\left(z^2+2\right)\ge3\left(x+y+z\right)^2\)
c) \(\left(x^3+3\right)\left(y^3+3\right)\left(z^3+3\right)\ge4\left(x+y+z+1\right)^2\)
Chứng minh bdt schur \(\left(x+y+z\right)^3+9xyz\ge4\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\)
Cho \(z^2+2\left(xy-xz-yz\right)=0,x+y\ne z,y\ne z\)
Chứng minh: \(\dfrac{x^2+\left(x-z\right)^2}{y^2+\left(y-z\right)^2}=\dfrac{x-z}{y-z}\)