Question

cho a+b+c=1 ,a>0,b>0,c>0

cmr (1/a +1/b + 1/c)≥9  

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}=9\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1/3

Answer 2

Áp dụng hệ quả bất đẳng thức Cô - si , ta có :
\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\cdot1\ge9\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)

Answer 3

Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz dạng Engel ta được:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{(1+1+1)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{1}\)

\(\to \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge 9\)

\(\to\) Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\)

\(\to a=b=c\)